第二章
周期振动: $x(t) = n(t + np)$
简谐振动: $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$ 关系: $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$
拍振: 两个频率相近的简谐运动叠加
振动三要素: 质量、弹簧、阻尼
基本元件: 质量元件、弹性元件、阻尼元件
(弹性元件)杆的拉压: $\sigma_x = \frac{N_L}{E_A}$, $x = \frac{N_L}{E_A} = \frac{\delta}{L}$
扭转: $\varphi = \frac{T_L}{G_J}$, $k_t = \frac{T}{\varphi} = \frac{G_J}{L}$
弯曲: $y = \frac{F l^3}{3 E I}$, $k_b = \frac{F}{y} = \frac{3 E I}{l^3}$
计算等效刚度: 能量守恒
等效质量: 动能等效计算
负质量(等效): 加速度与惯性力同向
阻尼元件:
黏性阻尼: $c = \frac{F}{v}$, $F = -c v = -\tau \dot{A}= -k A x= -cv$, 阻尼系数
材料阻尼: 变形时材料内部平面间会产生滑移或错位
等效阻尼: 并联 $c_e = \sum c_i$; 串联 $\frac{1}{c_e} = \sum \frac{1}{c_i}$
振动系统力学模型:
(1) 离散系统模型 (单/多)自由度 (常微分方程)
(2) 连续系统模型 无限多自由度, 空间上连续分布 (偏微分方程)
二阶常系数线性微分方程解:
$a_0 \frac{d^2x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_2 y = 0$
二阶常系数线性微分方程组的特征值:
$[M]{\ddot{x}} + [C]{\dot{x}} + [K]{x} = {0}$
$y’’ + py’ + qy = 0$, $y = e^{rx}$
特征方程: $r^2 + pr + q = 0$
求根公式: $r_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$
$r_1 \neq r_2$ 实根: $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$
$r_1 = r_2 = -\frac{p}{2}$: $y = (c_1 + c_2 x) e^{r_1 x}$
$r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$: $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$